[DSコラム]偏差値70ってどのくらい賢いの?

恋愛偏差値や顔面偏差値などとモノの尺度を示す際に比喩的にも用いられる偏差値という単語。
(とはいえ、人の容姿を揶揄するのは不道徳な行為ですが)
ではその偏差値について皆さんはどこまで正しく知っているでしょう。

「学生時代テストや模試なんかの度に見ていた気はするけれど、どんなものなのかイマイチつかめていない…」
「偏差値を聞いても全体の中でどれくらいの位置なのか、あまりピンと来ない…」
という人が多いのではないでしょうか。

偏差値とは何か

偏差値とは平均を50、標準偏差を10としてデータを変換した際の値を指します。
こういったデータを利用しやすいように加工する操作を正規化といいます。
(※特に平均0、分散1となるような加工のみを指して正規化と呼ぶ場合もあります。)
実際の計算式で確認してみましょう。

$$\bf\LARGE 偏差値=\frac{x-μ}{σ}\times10+50$$

$$\bf x:各データ μ:データの平均値 σ:標準偏差$$

たとえば、平均点ぴったりを取れば\(x-μ\)の部分が0になるので、偏差値は50になります。
また、平均との偏差(\(x-μ\))と標準偏差(\(σ\))の比は全ての実数を取り得るので偏差値は上限下限が存在しません。
あまり目にする機会はあまりないですが、偏差値は100以上となることも、負の値になることもあります。

ちなみに学校の偏差値については合格者の模試での成績等を用いて算出するのが一般的となっており、テスト等における偏差値とは算出方法が異なります。

偏差値はなぜ異なるデータ中の結果を比べられるの?

実は偏差値は分布(データの広がり方)が正規分布に従うと仮定して算出するものです。
逆に言うならば、分布が正規分布に近い形を取らないのならば適切な指標には成り得ません。
正規分布と言うのは以下のようなデータの分布のことです。

このような関数を確率密度関数と言います。(正規分布の確率密度関数の詳しい定義式はここでは省略します)
確率密度関数はヒストグラムを曲線として繋いだような形をとる関数で、色の塗られた部分の面積は1になります。
グラフを見ると、平均付近にデータが偏っており、左右対称な形をとっているのが分かります。
テストや模試の点数は一般に平均点付近の偏りますし、ある程度左右対称な形になるため、正規分布に近い分布を持つことが期待できます。
似たような分布であるならば、分布のこの辺り!と異なるデータ中の要素を比較することは容易そうです。
こうして偏差値は適切な指標となり得ているのです。

偏差値70ってどのくらい賢い?

偏差値70がどのくらい賢いかを見定めるためにもう一つの関数をご紹介しましょう。

このグラフは先ほどの確率密度関数を積み上げた形の関数で、累積分布関数といいます。
この関数は代入値以下を取る確率を返す関数で、横軸の値を大きくすればするほど値は1に漸近します。
また、上のグラフは正規分布の確率密度関数なので0を代入すると、0.5となります。
これは先ほど確認したように正規分布が平均を境に左右対称であるためです。平均以下の点数を取る確率は0.5(=50%)ですね。

平均との差(\(x-μ\))が\(2σ\)のとき、偏差値は\(\frac{2σ}{σ}\times10+50=70\)となります。
\(2σ\)を代入すると値は凡そ0.977。これが偏差値70以下を取る割合なので、70以上を取る確率は2.3%程度です。
偏差値70以上というと、およそ44人に1人程度の賢さといえるでしょう。

偏差値マイナスの世界

偏差値70で2%程度となるとマイナスの偏差値や100以上の偏差値はどの程度の割合で存在し得るのでしょう。

平均との偏差(\(x-μ\))が\(-5σ\)のとき、偏差値は\(\frac{-5σ}{σ}\times10+50=0\)となるため、\(-5σ\)を下回ればマイナスの偏差値となります。
上の累積密度関数に\(-5σ\)を代入すると、値は\(2.87\times10^{-7}\)となります。
つまり、偏差値がマイナスの値を取る(100以上となる)割合は全体の約0.0000287%、実に3,488,556人に1人です。
センター試験に成り代わり、2021年初めて実施された共通テストですらその受験者数は535,245人。
この7倍の人数がテストを受けない限り、なかなかマイナスや100以上の偏差値を見ることはできません。
(もちろん実際のテストは完全に正規分布に従うわけではないので、必ずしもその人数が必要なわけではありません)

とにもかくにも極端な偏差値を見たことがないのも当然なわけです。
貴方自身しかわからないテスト問題を作って受けてもらうなどしないかぎり私たちは2桁の偏差値しか見る機会がないかもしれませんね。

ライター:H.I